Question

双曲线

x2

4

-

y2

b2

=1(b∈N)的两个焦点为F₁、F₂，P为双曲线上一点，|OP|＜5，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列，则b²=

1

．

Answer 1

分析：通过等比数列双曲线的定义，余弦定理推出：|OP|²=20+3b²．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值．

解答：解：由题意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=4，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=16，
可得|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16…①
设∠POF₁=θ，则∠POF₂=π-θ，
由余弦定理可得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂||OP|cos（π-θ），|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|cosθ，
|PF₂|²+PF₁|²=2c²+2|OP|²，…②，
由①②化简得：|OP|²=8+3c²=20+3b²．
因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b²＜25．
所以b=1．
故答案为：1．

点评：本题考查双曲线的定义，余弦定理以及等比数列的应用，是有难度的综合问题，考查分析问题解决问题的能力．