Question

已知数列{a_n}是等比数列，且3a₁，2a₂，a₃成等差数列．
（1）若a₂₀₁₁=2011，试求a₂₀₁₃的值；
（2）若a₁=3，公比q≠1，设b_n=

1

lnan•lnan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得4a₁q=3a₁+a₁q²，解得q=1或q=3．由此能求出结果．
（2）由（1）知a_n=3ⁿ，从而得到b_n=

1

lnan•lnan+1

=

1

(ln3)2

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是等比数列，且3a₁，2a₂，a₃成等差数列．
∴4a₁q=3a₁+a₁q²，整理，得q²-4q+3=0，解得q=1或q=3．
∵a₂₀₁₁=，
∴a₂₀₁₃=2011或aa₂₀₁₃=2011×9=18099．
（2）∵a₁=3，公比q≠1，由（1）知a_n=3×3^n-1=3ⁿ，
则b_n=

1

lnan•lnan+1

=

1

nln3•(n+1)ln3

=

1

(ln3)2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

(ln3)2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

(ln3)2

(1-

1

n+1

)
=

n

(n+1)(ln3)2

．

点评：本题考查数列的第2013项的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．