Question

探究函数f（x）=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	4.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间

（0，2）

上递减；并利用单调性定义证明．函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间

（2，+∞）

上递增．当x=

2

时，y_最小=

4

．
（2）函数f（x）=x+

4

x

（x＜0）时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

Answer 1

分析：（1）根据表格可求得函数的单调区间，根据单调性可求得最小值，利用单调性的定义可作出证明；
（2）根据奇函数的性质可作出回答；

解答：解：（1）根据表格可知，f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以x=2时，f（x）有最小值f（2）=4；
证明如下：
设2＞x₂＞x₁＞0，则f（x₂）-f （x₁）=（x2+

4

x2

）-（x1+

4

x1

）=

(x2-x1)(x1x2-4)

x1x2

．
∵2＞x₂＞x₁＞0，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₂）-f （x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（0，2）上单调递减．
（2）由（1）知，f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
f（x）在∈（0，+∞）的最小值为f（2）=4，
又f（x）=x+

4

x

为奇函数，所以x＜0时，f（x）有最大值f（-2）=-4；
故答案为：（1）（0，2）；（2，+∞），2，4；

点评：本题考查函数单调性的性质及其证明，属中档题．