Question

已知定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y）
（1）若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为，试求M的轨迹曲线C₁的方程；
（2）若曲线C₂是以C₁的焦点为顶点，且以C₁的顶点为焦点，试求曲线C₂的方程；
（3）是否存在过点F（，0）的直线m，使其与曲线C₂交得弦|PQ|长度为8呢？
若存在，则求出直线m的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）∵定点A（1，0），定直线l：x=5，
动点M（x，y），M到点A的距离与M到直线l的距离之比为，
∴根据椭圆定义：M的轨迹为椭圆，其中c=1，e==，
∴a=∴b==2∴则C₁轨迹方程为：．
（2）∵C₁轨迹方程为：，
∴C₁的焦点为：（1，0），（﹣1，0），
C₁的顶点为：（，0），（﹣，0）
由题意可知：C₂为双曲线则a′=1，c'=，则b′==2，
∴C₂轨迹方程为：x²﹣=1．
（3）当直线m的斜率不存在时，m的方程为：x=，
它与C₂：x²﹣=1交于P（，﹣4）和Q（），得到得弦|PQ|=8．
当直线m的斜率存在时，m的方程为y=k（x﹣），联立方程组，
消去y，整理得，
设P（x₁，y1），Q（x₂，y₂），则，，∴弦|PQ|长度为8，
∴=8，解得k=，
∴直线m的方程为x=或y=（x﹣）．