Question

如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x^2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求B点的坐标；
（3）若S_△AOB=2，求A点的坐标；
（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的定义y=

k

x

（k≠0）即可得出；
（2）由直线y=kx+2k（k≠0），令y=0，解得x即可；
（3）联立

y=kx+2k y= 4 x

，解得点A的坐标，再利用2=S△AOB=

1

2

|OB|•yA，解得k即可；
（4）存在，设P（x，0）．分类讨论：①若|OA|=|OP|，②若|AO|=|AP|，③若|PA|=|PO|，再利用两点间的距离公式即可得出．

解答：解：（1）由双曲线y=（m+5）x^2m+1，利用双曲线的解析式和图象可得

2m+1=-1 m+5＞0

，解得m=-1，
∴双曲线的方程为y=

4

x

．
（2）由直线y=kx+2k（k≠0），令y=0，解得x=-2，∴B点坐标（-2，0）；
（3）联立

y=kx+2k y= 4 x

，解得x=

k2+4k -k

k

，（∵x_A＞0），∴yA=

4k

k2+4k -k

，
∴2=S△AOB=

1

2

|OB|•yA，即2=

1

2

×2×

4k

k2+4k -k

，解得k=

1

2

，
∴x_A=2，y_A=2，∴A（2，2）．
（4）存在，设P（x，0）．
①若|OA|=|OP|，则

22+22

=|x|，解得x=±2

2

；
②若|AO|=|AP|，则2

2

=

(x-2)2+22

，解得x=4，或x=0（舍去）；
③若|PA|=|PO|，则

(x-2)2+22

=|x|，解得x=2．
综上可知：点P的坐标为以下四个，
（2

2

，0)，（-2

2

，0)，（2，0），（4，0）．

点评：熟练掌握双曲线的定义及其性质、直线与双曲线的相交问题转化为方程联立得到方程组、三角形的面积计算公式、两点间的距离公式、分类讨论的思想方法等是解题的关键．