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精英家教网如图,直线y=kx+b与椭圆
x24
+y2
=1交于A,B两点,记△AOB的面积为S.
(I)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(Ⅱ)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
分析:(Ⅰ)设出点A,B的坐标利用椭圆的方程求得A,B的横坐标,进而利用弦长公式和b,求得三角形面积表达式,利用基本不等式求得其最大值.
(Ⅱ)把直线与椭圆方程联立,进而利用弦长公式求得AB的长度的表达式,利用O到直线AB的距离建立方程求得b和k的关系式,求得k.则直线的方程可得.
解答:解:(Ⅰ)设点A的坐标为(x1,b),点B的坐标为(x2,b),
x2
4
+b2=1
,解得x1,2=±2
1-b2

所以S=
1
2
b•|x1-x2|
=2b•
1-b2
≤b2+1-b2=1.
当且仅当b=
2
2
时,S取到最大值1.

(Ⅱ)解:由
y=kx+b
x2
4
+y2=1

(k2+
1
4
)x2+2kbx+b2-1=0
,①
△=4k2-b2+1,
|AB|=
1+k2
•|x2-x1|
=
1+k2
4k2-b2+1
1
4
+k2
=2
.②
设O到AB的距离为d,则d=
2S
|AB|
=1

又因为d=
|b|
1+k2

所以b2=k2+1,代入②式并整理,得k4-k2+
1
4
=0

解得k2=
1
2
b2=
3
2
,代入①式检验,△>0,
故直线AB的方程是y=
2
2
x+
6
2
y=
2
2
x-
6
2
y=-
2
2
x+
6
2
,或y=-
2
2
x-
6
2
点评:本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
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