Question

17．已知函数$f（x）=lg\frac{x+1}{2x-a}+lga$（a是实常数）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性与实数a的关系．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由函数的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2x-a}＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解可得x的取值范围，即可得答案；
（2）由函数的解析式可得f（-x），结合a的取值分析f（x）与f（-x）的关系，即可得答案．

解答 解：（1）函数$f（x）=lg\frac{x+1}{2x-a}+lga$，
有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2x-a}＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解可得x＜-1或x＞$\frac{a}{2}$，
故函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（$\frac{a}{2}$，+∞）；
（2）函数$f（x）=lg\frac{x+1}{2x-a}+lga$，则f（-x）=lg$\frac{-x+1}{-2x-a}$+lga，
分析可得：a=2时，有f（-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数；
当a≠2时，f（-x）与-f（x）没有关系，函数f（x）为非奇非偶函数．

点评 本题考查函数的奇偶性的性质以及函数的定义域的求法，注意对数函数的定义域．