Question

7．求渐近线方程3x±4y=0，焦点为椭圆$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1在x轴上的一对顶点的双曲线方程．

Answer 1

分析 求出椭圆在x轴上的一对顶点，可得双曲线的焦点，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由a，b，c的关系和渐近线方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：焦点为椭圆$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1在x轴上的一对顶点，
可得双曲线的焦点为（±$\sqrt{10}$，0），
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
则a²+b²=10，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
可得$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，
解方程可得a=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，b=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
即有双曲线的方程为$\frac{5{x}^{2}}{32}$-$\frac{5{y}^{2}}{18}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的顶点坐标和双曲线的渐近线方程，以及基本量的关系，考查方程思想，属于基础题．