Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n²=（2a_n+1）a_n+1（n∈N^*）．
（1）令bn=lg(1+

1

an

)(n∈N*)，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：

n

i=1

ai

1+ai

＜

7

8

．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的定义和对数的运算性质证明

bn+1

bn

为常数即可；
（2）由（1），利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）通过二项式定理放缩，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：（1）证明：∵

bn+1

bn

=

lg(1+ 1 an+1 )

lg(1+ 1 an )

=

lg(1+ 2an+1 a 2 n )

lg(1+ 1 an )

=

lg(1+ 1 an )2

lg(1+ 1 an )

=2，
∴数列{b_n}是以lg(1+

1

a1

)=lg2为首项，以2为公比的等比数列．

（2）由（1）知bn=lg(1+

1

an

)=2n-1lg2，即1+

1

an

=22n-1，故an=

1

22n-1-1

．
（3）由（2）得

ai

1+ai

=(

1

2

)2i-1，
∴

n

i=1

ai

1+ai

=

a1

1+a1

+

a2

1+a2

+…+

an

1+an

=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)22+…+(

1

2

)2n-1，
当n≥4时，2n-1=(1+1)n-1=1+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

＞1+

C

1 n-1

+

C

n-1 n-1

=n+1，
即n≥4时，(

1

2

)2n-1＜(

1

2

)n+1，
故

n

i=1

ai

1+ai

＜

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)22+[(

1

2

)5+(

1

2

)6+…+(

1

2

)n+1]
=

1

2

+

1

4

+

1

16

+

( 1 2 )5[1-( 1 2 )n-3]

1- 1 2

=

7

8

-(

1

2

)n+1＜

7

8

．

∴

n

i=1

ai

1+ai

＜

7

8

．

点评：数列掌握等比数列的定义和通项公式、前n项和公式、对数的运算性质、二项式定理等是解题的关键．