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    已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周长为16．
    （1）求点C轨迹L的方程；
    （2）过O作直线OM、ON，分别交轨迹L于M、N点，且OM⊥ON，求S△MON的最小值；
    （3）在（2）的前提下过O作OP⊥MN交于P点．求证点P在定圆上，并求该圆的方程．
    （1）由已知：|AC|+|BC|+|AB|=16
    ∴|AC|+|BC|=10
    ∴a=5，c=3
    ∴b2=a2-c2=16
    ∴点C的轨迹为：
    x2
    25
    +
    y2
    16
    =1(y≠0)
    （2）显然OM，ON斜率均存在．设OM：y=kx，则ON：y=-
    1
    k
    x
    联立OM与L可知：
    x2
    25
    +
    k2x2
    16
    =1⇒x2=
    1
    1
    25
    +
    k2
    16

    ∴|OM|=
    		1+k2
    •|x|=
    1+k2
    1
    25
    +
    k2
    16
    同理|ON|=
    1+
    1
    k2
    1
    25
    +
    1
    16k2
    =
    1+k2
    1
    25
    k2+
    1
    16

    ∴S△MON=
    1
    2
    |OM|•|ON|=
    1
    2
    (1+k2)2
    (
    1
    25
    +
    k2
    16
    )(
    k2
    25
    +
    1
    16
    )
    ≥
    1
    2
    •
    1+k2
    1
    25
    +
    k2
    16
    +
    k2
    25
    +
    1
    16
    2
    =
    400
    41

    当且仅当：
    1
    25
    +
    k2
    16
    =
    k2
    25
    +
    1
    16
    时取“=”即k=±1时取“=”
    ∴S△MON的最小值为
    400
    41

    （3）由已知：|MN|=
    		|OM|2+|ON|2
    =
    1+k2
    1
    25
    +
    k2
    16
    +
    1+k2
    k2
    25
    +
    1
    16

    ∴|OP|=
    |OM|•|ON|
    |MN|
    =
    1+k2
    1
    25
    +
    k2
    16
    •
    1+k2
    1
    25
    k2+
    1
    16
    1+k2
    1
    25
    +
    k2
    16
    +
    1+k2
    k2
    25
    +
    1
    16
    =
    400
    41
    =
    20
    		41
    41

    ∴点P一定在定圆x2+y2=
    400
    41
    上．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-
    		2
    ，0)    ，(
    		2
    ，0)    ，离心率是
    		6
    3
    ，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
    （Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为
    		3
    3
    ，直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设直线l与椭圆C的交点为A，B，求弦长|AB|．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=
    2
    3
    ，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：
    CA
    =λ
    BC
    （λ≥2）．
    （1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
    （2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
    （3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（-
    		2
    ，0）、B（
    		2
    ，0），离心率e=
    		2
    2
    ．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|PC|=（
    		2
    -1）|PQ|．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）求动点C的轨迹E的方程；
    （3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且|MN|=
    8
    		2
    7
    ，求直线MN的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知点A（1，1）是椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．
    （I）求椭圆的标准方程；
    （II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
    （III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C过点P（1，
    3
    2
    ），两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）过点F1的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的中点的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    直线L：
    x
    4
    +
    y
    3
    =1与椭圆E：
    x2
    16
    +
    y2
    9
    =1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（　　）
    A．1个B．2个C．3个D．4个

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，则实数k的取值范围为______．

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