Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R
（1）直线l是否过定点，有则求出来？判断直线与圆的位置关系及理由？
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．

Answer 1

分析：（1）判断直线l是否过定点，可将（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R转化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，利用

x+y-4=0 2x+y-7=0

即可确定所过的定点A（3，1）；再计算|AC|，与圆的半径R=

5

比较，判断l与圆的位置关系；
（2）弦长最小时，l⊥AC，由kAC=-

1

2

得直线l的斜率，从而由点斜式可求得l的方程．

解答：解：（1）由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：
（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴

x+y-4=0 2x+y-7=0

得

x=3 y=1

，
故l恒过定点A（3，1）；
又圆心C（1，2），
∴|AC|=

22+12

=

5

＜5（半径）
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交．
（2）∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，
∴当l⊥AC（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，
∵kAC=-

1

2

，
∴直线l的斜率k_l=2，
∴由点斜式可得l的方程为2x-y-5=0．

点评：本题考查直线与圆的位置关系及恒过定点的直线，难点在于（2）中“弦长最小时，l⊥AC”的理解与应用，属于中档题．