Question

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右顶为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP⊥PA，求椭圆的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 由于∠AP0=90゜，可得点P所在的圆的方程x²+y²-ax=0，与椭圆方程联立可得交点P的横坐标，即a与b的关系，再利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：∵∠AP0=90゜，∴点P在以AO为直径的圆上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO为直径的圆方程为x²+y²-ax=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\\{x}^{2}+{y}^{2}-ax=0\end{array}\right.$消去y，得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0．
设P（m，n），则m+a=-$\frac{{a}^{3}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，ma=$\frac{-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，可得m=$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$．
∵由图形得0＜m＜a，∴0＜$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²，
∴e²＞$\frac{1}{2}$，∴e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又∵e∈（0，1），
∴椭圆的离心率e的取值范围为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查了圆与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、椭圆的离心率范围性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．