Question

4．（1）△ABC中，已知a=5$\sqrt{2}$，c=10，A=30°，则B等于105°或15°．
（2）△ABC中，已知b=5，B=$\frac{π}{4}$，tanA=2，求sinA和边a．

Answer 1

分析 （1）首先，判断解的个数的多少，然后，利用正弦定理求解即可；
（2）利用所给条件并结合同角三角函数基本关系式得到相应的值，然后，利用正弦定理确定三角形的边长即可．

解答 解：（1）∵a=5$\sqrt{2}$，c=10，A=30°，
csinA=10×$\frac{1}{2}$=5，
∵csinA=5＜a=5$\sqrt{2}$＜10，
∴该三角形有两解，
根据正弦定理，得
$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
∴sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{5}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C=45°或135°，
∴B=105°或B=15°，
（2）∵tanA=2，
∴$\frac{sinA}{cosA}=2$，
∴sinA=2cosA，
∵sin²A+cos²A=1，
∴sin²A+$\frac{1}{4}$sin²A=1，
∴sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
根据正弦定理，得
$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{5×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{5}$×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题重点考查了三角恒等变换、正弦定理及其应用，对于解三角形问题，注意多解问题的处理思路和方法，属于中档题．