定义:如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长.则称为“三角形数列．对于“三角形数列.如果函数使得仍为一个“三角形数列.则称是数列的“保三角形函数 .. (Ⅰ)已知是首项为2.公差为1的等差数列.若是数列的“保三角形函数 .求k的取值范围, (Ⅱ)已知数列的首项为2010.是数列的前n项和.且满足.证明是“三角形数列, (Ⅲ)根� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.

（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；

（Ⅱ）已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；

（Ⅲ）根据“保三角形函数”的定义，对函数，，和数列1，，，（）提出一个正确的命题，并说明理由．

【答案】

解：（1）显然，对任意正整数都成立，

即是三角形数列． …… 2分

因为k>1，显然有，由得，解得.

所以当时，是数列的“保三角形函数”. …… 5分

（2）由得,两式相减得

所以，，

经检验，此通项公式满足 ……7分

显然，因为，

所以是“三角形”数列． …… 10分

（3）探究过程：　函数，是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：

①1，1+d，1+2d是三角形数列，所以，即．

②数列中的各项必须在定义域内，即.

③是三角形数列.

由于，是单调递减函数，所以，解得．

【解析】略

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定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”（n∈N*）．
（Ⅰ）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（Ⅱ）已知数列{c_n}的首项为2013，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8052，证明{c_n}是“三角形”数列；
（Ⅲ）若g（x）=lgx是（Ⅱ）中数列{c_n}的“保三角形函数”，问数列{c_n}最多有多少项？
（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）

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（2010•青浦区二模）[理科]定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”，（n∈N^*）．
（1）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x，（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（2）已知数列{c_n}的首项为2010，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8040，证明{c_n}是“三角形”数列；
（3）根据“保三角形函数”的定义，对函数h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和数列1，1+d，1+2d（d＞0）提出一个正确的命题，并说明理由．

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科目：高中数学 来源：2014届安徽省高二下学期期末考试数学试卷（解析版） 题型：解答题