Question

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知f（x）=x²+（cotθ-1）x+b（θ、b是常数，b＞0）．
（1）若f（x）是偶函数，求θ、b应满足的条件；
（2）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上是否是“弱增函数”，请说明理由．

Answer 1

解：（1）若f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x），…（2分）
即x²+（cotθ-1）x+b=x²-（cotθ-1）x+b对任意x∈R恒成立，
∴cotθ=1，b＞0，…（4分）
∴若f（x）是偶函数，则θ=kπ+（k∈Z），b＞0，…（6分）
（2）当cotθ≥1时，f（x）=x²+（cotθ-1）x+b的对称轴是
∴f（x）在（0，1]上是增函数 …（8分）
考察函数，
①当，即b≥1时，设0＜x₁＜x₂≤1，
则
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1≤b，
∴
即g（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；…（12分）
②当，即0＜b＜1时，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），
即g（x）在（0，1]上不是单调函数，∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”．…（13分）
综上所述，b≥1时，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；0＜b＜1时，f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”…（14分）
分析：（1）根据f（x）是偶函数，可得f（x）=f（-x），由此可求θ、b应满足的条件；
（2）确定f（x）在（0，1]上是增函数，考察函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求得结论．
点评：本题考查函数的奇偶性，考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．