Question

设函数f（x）=（x-1）²+blnx．
（1）若f（x）在x=2时取得极小值，求b的值；
（2）若函数f（x）在定义城上是单调函数，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=（x-1）²+blnx，
∴f′（x）=2（x-1）+，
∵（x）在x=2时取得极小值，
∴f（2）=0，2×1+=0，∴b=-4；
（2）f（x）在定义域上是单调函数，则f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，
①∵x＞0，当f′（x）≥0，有b≥2x-2x²=-2（x-）²+，b≥，
②当f′（x）≤0，b≤2x-2x3对任意x＞0成立，不存在，
故满足条件的b的取值范围为[，+∞）．
分析：（1）因为函数f（x）=（x-1）²+blnx，对其进行求导，已知（x）在x=2时取得极小值，可得f′（2）=0，从而求解；
（2）函数f（x）=（x-1）²+blnx，f（x）在定义城上是单调函数，则f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，分两种情况进行讨论，从而求解；
点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，此题是高考的热点问题，是一道中档题．