Question

如图所示，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E为棱AA₁的中点．

(1)证明：B₁C₁⊥CE；

(2)设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为.求线段AM的长．

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

试题分析：以点A为原点建立空间直角坐标系，(1)求出，，于是，所以；

（2）设，有.因为平面，可取为平面的一个法向量，则与的夹角的余弦值的绝对值即为直线与平面夹角的正弦值，由题目知这个正弦值为，即可列出一关于的方程，解方程求出的值，最后求出线段的长.

试题解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，

依题意得，，，，，

（1）证明：易得，，于是，所以.

（2）,=(1,1,1). 设,0≤≤1，有

. 因为平面，可取为平面的一个法向量.

设为直线与平面所成的角，则

==.

于是=，解得，所以.

考点：1.空间中两直线的位置关系；（2）用空间向量解决立体几何问题.