Question

已知双曲线：的焦距为，且经过点。

(Ⅰ)求双曲线的方程和其渐近线方程；

(Ⅱ)若直线与双曲线有且只有一个公共点,求所有满足条件的的取值。

Answer 1

(Ⅰ) ，

(Ⅱ)

【解析】

试题分析：在解第一问的时候可以根据双曲线的定义，得出对应的，再根据双曲线中之间的关系，得出的值，从而得出双曲线的方程；对于第二问，涉及到直线与双曲线的位置关系，取决于联立以后的方程的根的个数，注意对二次项系数的讨论，当二次项系数为0时的情况不要丢掉，只有一个公共点包括了相切的时候和与渐近线平行的时候.

试题解析：(1)由题意可知：双曲线的焦点为（-2, 0）和（2,0）

根据定义有

∴，由以上可知：．∴所求双曲线C的方程为：． 4分

渐近线方程为： 6分

(2)由得：. 7分

①当即时，此时直线与双曲线相交有一个公共点，符合题意 8分

② 当即时，由△=0得，

此时直线与双曲线相切有一个公共点，符合题意 11分

综上所述：符合题意的k的所有取值为。 12分

考点：双曲线的方程，双曲线的渐近线方程，直线与双曲线的位置关系.