Question

已知椭圆上任一点P到两个焦点的距离的和为，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为．设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若（O为坐标原点），求|y₁-y₂|的值；
（Ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA、QB的倾斜　 角互为补角？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由椭圆的定义知a=，又，∴b²=2，c²=a²-b²=1．
∴椭圆P（x₀，y₀）的方程是．
∵，∴，
∴，
∴，
又，故|y₁-y₂|=4．
（Ⅱ）假设存在一点Q（m，0），使得直线QA、QB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l、QA、QB斜率存在且不为零．
设直线l的方程为y=k（x-1）代入椭圆的方程消去y得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
∵直线QA、QB的倾斜角互为补角，
∴k_QA+k_QB=0，∴．
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入上式可得2x₁x₂+2m-（m+1）（x₁+x₂）=0，
∴，
化为2m-6=0，解得m=3，
∴存在Q（3，0）使得直线QA、QB的倾斜角互为补角．
分析：（I）由椭圆的定义可知：a=；由P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为，可得，即可得到a，b²．
（II）假设存在一点Q（m，0），使得直线QA、QB的倾斜角互为补角，设直线l的方程为y=k（x-1）代入椭圆的方程消去y得（3k²+2）x²-6k²x+3k²-6=0，得到根与系数的关系；由直线QA、QB的倾斜角互为补角，可得k_QA+k_QB=0，利用斜率计算公式得出，把根与系数的关系代入解出即可．
点评：熟练掌握椭圆的定义、椭圆上一点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为、直线QA、QB的倾斜角互为补角?k_QA+k_QB=0、直线与椭圆的方程相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键．