Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A为椭圆短轴的一个顶点，且△AF₁F₂是直角三角形，椭圆上任一点P到左焦点F₁的距离的最大值为

2

+1
（1）求椭圆C的方程；
（2）与两坐标轴都不垂直的直线l：y=kx+m（m＞0）交椭圆C于E，F两点，且以线段EF为直径的圆恒过坐标原点，当△OEF面积的最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意得，b=c，

c

a

=

2

2

，a+c=

2

+1，解方程求出a、b、c的值，即得椭圆的方程．
 （2）把直线方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系以及

OE

•

OF

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，求得
m2=

2

3

(k2+1)，代入△OEF的面积公式换元后使用基本不等式可得面积S的最大值及此时的m、k的值．

解答：解：（1）由题意得，b=c，

c

a

=

2

2

，a+c=

2

+1，
∴a=

2

，c=1，则b=1． 所以，椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，
联立得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，∴△=8（2k²+1-m²）＞0，

x1+x2= -4mk 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2

，
又以线段EF为直径的圆恒过坐标原点，所以，

OE

•

OF

=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，代入得 m2=

2

3

(k2+1)．
由于原点O到直线kx-y+m=0的距离为d=

m

1+k2

，|EF|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

，
△OEF的面积S=

1

2

d|EF|=

1

2

•

m

1+k2

•

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

 
=

m

2

•

( -4km 1+2k2 )2-4 • 2m2-2 1+2k2

=

m2 4 •( -4km 1+2k2 )2- m2 4 •4 • 2m2-2 1+2k2

=

2 3 (k2+1) 4 • 16k2• 2 3 (k2+1) (1+2k 2)2 - 2 3 (1+k2) 4 •4• [2• 2 3 (k2+1)-2]•(1+2k 2) (1+2k2)2

=
=

2

3

(2+2k2)(1+4k2) (1+2k2)2

，
设t=1+2k²＞1，则 S=

2

3

- 1 t2 + 1 t +2

=

2

3

-( 1 t - 1 2 )2+ 9 4

≤

2

2

，
当t=2，即t=1+2k2=2，k=±

2

2

时，面积S取得最大值

2

2

，
此时，m=1，所以，直线方程为y=±

2

2

x+1．

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的方程，一元二次方程根与系数的关系，以及基本不等式的应用，属于中档题．