Question

设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。

    （Ⅰ）求椭圆M的方程；

（2）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB| + |CD|的最小

值。

 

Answer 1

【答案】

（1）椭圆M的方程为

（2）当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是

【解析】解：（Ⅰ）所求椭圆M的方程为…3分

    （Ⅱ）当≠，设直线AB的斜率为k = tan，焦点F ( 3 , 0 )，则直线AB的方程为 y = k ( x – 3 )        有( 1 + 2k² )x² – 12k²x + 18( k² – 1 ) = 0

        设点A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )    有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =

        |AB| =      

又因为k = tan=代入**式得 |AB| =

        当=时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| =

        而当=时，|AB| ==        |AB| =

        同理可得    |CD| ==

        有|AB| + |CD| =+=

        因为sin2∈[0，1]，所以当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是