(本题满分14分)
如图1,在平面内,ABCD是的菱形,ADD``A1和CD D`C1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使D``与D`重合于点D1 .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面,点E是直线l上的一个动点,且与点D1位于平面ABCD同侧(图2).
(Ⅰ) 设二面角E – AC – D1的大小为q,若£ q £
,求线段BE长的取值范围;
(Ⅱ)在线段上存在点
,使平面
平面
,求
与BE之间满足的关系式,并证明:当0 < BE < a时,恒有
<
1.
(方法1)设菱形的中心为O,以O为原点,对角线AC,BD所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系如图1.设BE = t (t > 0) .
(Ⅰ)
设平面的法向量为
,则
3分
设平面
的法向量为
,
则
4分
设二面角的大小为
,则
, 6分
∵cosq Î, ∴
,
解得 £ t £
. 所以BE的取值范围是
[
,
]. 8分
(Ⅱ) 设,则
由平面平面
,得
平面
,
,化简得:
(t ¹ a),即所求关系式:
(BE ¹ a).
∴当0< t < a时,< 1. 即:当0 < BE < a时,恒有
< 1.
14分
(方法2)
(Ⅰ)如图2,连接D1A,D1C,EA,EC,D1O,EO,
∵ D1A= D1C,所以,D1O⊥AC,同理,EO⊥AC,
∴是二面角
的平面角.设其为q. 3分
连接D1E,在△OD1E中,设BE = t (t > 0)则有:
OD1
= ,OE =
,D1E =
,
∴ .
6分
∵cosq Î, ∴
,
解得 £ t £
. 所以BE的取值范围是
[
,
].
所以当条件满足时,£ BE £
.
8分
(Ⅱ)当点E在平面A1D1C1上方时,连接A1C1,则A1C1∥AC,
连接EA1,EC1,设A1C1的中点为O1,则O1在平面BDD1内,过O1作O1P∥OE交D1E于点P,则平面平面
.
作平面BDD1如图3.过D1作D1B1∥BD交于l点B1,设EO交D1B1于点Q.
因为O1P∥OE,所以=
=
,
由Rt△EB1Q∽RtEBO,得,解得QB1 =
,得
=
, 12分
当点E在平面A1D1C1下方时,同理可得,上述结果仍然成立. 13分
∴有=
(BE ¹a),∴当0 < t < a时,
<
1. 14分
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
π |
3 |
|
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分14分)如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,为
上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥BE;(2)求三棱锥D-AEC的体积;(3)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江苏省高三上学期期中考试数学 题型:解答题
(本题满分14分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}
(Ⅰ)若AB=[0,3],求实数m的值
(Ⅱ)若ACRB,求实数m的取值范围
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省高三上学期第三次月考理科数学卷 题型:解答题
(本题满分14分)
已知点是⊙
:
上的任意一点,过
作
垂直
轴于
,动点
满足
。
(1)求动点的轨迹方程;
(2)已知点,在动点
的轨迹上是否存在两个不重合的两点
、
,使
(O是坐标原点),若存在,求出直线
的方程,若不存在,请说明理由。
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科目:高中数学 来源:2014届江西省高一第二学期入学考试数学 题型:解答题
(本题满分14分)已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断的奇偶性;
(3)方程是否有根?如果有根
,请求出一个长度为
的区间
,使
;如果没有,请说明理由?(注:区间的长度为
).
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