Question

(本题满分14分)

如图1，在平面内，ABCD是的菱形，ADD``A<sub>1</sub>和CD D`C<sub>1</sub>都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D``与D`重合于点D₁ .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧（图2）．

  

(Ⅰ) 设二面角E – AC – D₁的大小为q，若£ q £ ，求线段BE长的取值范围；

(Ⅱ)在线段上存在点，使平面平面，求与BE之间满足的关系式，并证明：当0 < BE < a时，恒有< 1．

 

Answer 1

【答案】

 

（方法1）设菱形的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系如图1．设BE = t （t > 0） ．

（Ⅰ）

设平面的法向量为，则

         3分

设平面的法向量为，

则      4分

设二面角的大小为，则，    6分

∵cosq Î，  ∴ ，    

解得 £ t £ ．  所以BE的取值范围是 [，]．    8分

 (Ⅱ) 设，则

 

由平面平面，得平面，

,化简得：(t ¹ a)，即所求关系式：（BE ¹ a).

∴当0< t < a时，< 1.  即：当0 < BE < a时，恒有< 1．       14分

（方法2）

（Ⅰ）如图2，连接D₁A，D₁C，EA，EC，D₁O，EO，

∵ D₁A= D₁C，所以，D₁O⊥AC，同理，EO⊥AC，

∴是二面角的平面角．设其为q．        3分

连接D₁E，在△OD₁E中，设BE = t （t > 0）则有：

OD₁ = ，OE = ，D₁E = ，

∴ .                                  6分

∵cosq Î，  ∴ ，    

解得 £ t £ ．  所以BE的取值范围是 [，]．

所以当条件满足时，£ BE £ ．                 8分

（Ⅱ）当点E在平面A₁D₁C₁上方时，连接A₁C₁，则A₁C₁∥AC，

连接EA₁，EC₁，设A₁C₁的中点为O₁，则O₁在平面BDD₁内，过O₁作O₁P∥OE交D₁E于点P，则平面平面．

作平面BDD₁如图3．过D₁作D₁B₁∥BD交于l点B₁，设EO交D₁B₁于点Q．

因为O₁P∥OE，所以==，

由Rt△EB₁Q∽RtEBO，得，解得QB₁ = ，得=，  12分

当点E在平面A₁D₁C₁下方时，同理可得，上述结果仍然成立．       13分

∴有=（BE ¹a），∴当0 < t < a时，< 1.      14分

 

【解析】略