Question

设函数f（x）=|2x-a|+2a
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-6≤x≤4}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若不等式f（x）＜（k²-1）x-5的解集非空，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得即|2x-a|≤6-2a，即

3

2

a-3≤x≤3-

1

2

a． 再根据它的解集为{x|-6≤x≤4}，可得

3 2 a-3=-6 3- 1 2 a=4

，由此求得a的值．
（Ⅱ）在（I）的条件下，由不等式f（x）＜（k²-1）x-5可得，|2x+2|+1≤（k²-1）x．令g（x）=|2x+2|+1=

2x+3 ， x≥-1 -2x-1 ，x＜-1

，画出g（x）的图象，要使不等式f（x）＜（k²-1）x-5的解集非空，只要 k²-1≤-1，或 k²-1＞2，由此求得k的范围．

解答：解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|2x-a|+2a，不等式f（x）≤6，即|2x-a|≤6-2a，即2a-6≤2x-a≤6-2a，
即

3

2

a-3≤x≤3-

1

2

a． 
再根据它的解集为{x|-6≤x≤4}，可得

3 2 a-3=-6 3- 1 2 a=4

，解得 a=-2．
（Ⅱ）在（I）的条件下，f（x）=|2x+2|-4，由不等式f（x）＜（k²-1）x-5可得|2x+2|-4＜（k²-1）x-5，
化简可得，|2x+2|+1≤（k²-1）x．
令g（x）=|2x+2|+1=

2x+3 ， x≥-1 -2x-1 ，x＜-1

，画出g（x）的图象，如图：
要使不等式f（x）＜（k²-1）x-5的解集非空，只要 k²-1≤-1，或 k²-1＞2，
解得 k＜-

3

，或 k＞

3

，或 k=0，
故k的范围为{k|k＜-

3

，或 k＞

3

，或 k=0}．

点评：本题主要考查带由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．