Question

某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．

Answer 1

分析：（I）由题意得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的概率．
（Ⅱ）平均数为每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．
（Ⅲ）由题意，根据直方图计算出[80，90）分数段的人数为15人；[90，100]分数段的人数为3人；由分层抽样得在[80，90）与[90，100]分数段抽取人数分别为5人，1人．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．再利用古典概型计算出事件发生的概率即可．

解答：解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为：1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3．
（Ⅱ）平均分为：

.

x

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
（Ⅲ）由题意，[80，90）分数段的人数为：0.25×60=15人；     
[90，100]分数段的人数为：0.05×60=3人；     
∵用分层抽样的方法在80（分）以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100]分数段抽取1人，记为M．         
因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），
则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．
设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9（0分）”为事件A，
则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种．
事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种．
∴恰有1人的分数不低于9（0分）的概率为P(A)=

5

15

=

1

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉频率分布直方图并且利用直方图计算平均数、众数、中位数；熟练的利用分层抽样抽取样本．