Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m+6，2），$\overrightarrow{b}$=（1，m），$\overrightarrow{c}$=（2m-1，m+1），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则向量$\overrightarrow{c}$在向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$方向的投影是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． -$\frac{19}{5}$
• D． -4

Answer 1

分析 先求出m的值，再求出$\overrightarrow{c}$=（-5，-1）和$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（3，4），根据平面向量的数量积定义，得到向量$\overrightarrow{c}$在向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$方向的投影，（θ是两个向量的夹角）求之即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（m+6，2），$\overrightarrow{b}$=（1，m），
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则m+6+2m=0，解得m=-2，
∴$\overrightarrow{c}$=（-5，-1），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（3，4）
由题意，向量$\overrightarrow{c}$在向量（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）方向的投影为|$\overrightarrow{c}$|cosθ=$\frac{\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-15-4}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=-$\frac{19}{5}$；
故选：C．

点评 本题考查了利用向量的数量积的定义求为向量$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{b}$方向的投影|$\overrightarrow{a}$|cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，（θ是两个向量的夹角）．