Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点。

    （Ⅰ）求证：A₁A⊥BC；

    （Ⅱ）当侧棱AA₁和底面成45º角时，求二面角A₁-AC-B的大小

    （Ⅲ）若D为侧棱A₁A上一点，当为何值时，BD⊥A₁C₁。

Answer 1

解法一：

     

（Ⅰ）连结AO，∵A₁O面ABC，AO⊥BC，

        ∴A₁A⊥BC。     

（Ⅱ）由（1）得，∠A₁AO=45º，

由底面是边长为的正三角形，可知AO=3，

∴A₁O=3，AA₁=，

过O做OE⊥AC于E，连接A₁E，则∠A₁EO为二面角A₁-AC-B的平面角，

∵，∴。

即二面角A₁-AC-B的大小为arctan2。           

（Ⅲ）过D作DF∥A₁O，交AO于F，则DF⊥平面ABC。

BF为BD在面ABC内的射影，

又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC，

∴F为△ABC的中心，∴

解法二：以O点为原点，OC为轴，OA为轴，OA₁为轴建立空间直角坐标系。

 

（Ⅰ）由题意知∠A₁AO=45º，A₁O=3，

∴O（0，0，0），C（，0，0），A（0，3，0），A₁（0，0，3），B（，0，0）。

∵，，

∴

∴AA₁⊥BC。     

（Ⅱ）设面AA₁的法向量为，

则

令，则，，∴。    

而△ABC的法向量为               

。

又显然所求二面角的平面角为锐角，

∴所求二面角的大小为。            

（Ⅲ）A₁C₁∥AC，故只需BD⊥AC即可。

设AD=a，则，

又，则，。

要使BD⊥AC，须，

得，而，∴，

∴。