Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着DE翻折成△A₁DE，使得平面A₁DE⊥平面DECB，F是A₁B上一点且A₁E∥平面FDC．
（1）求

A1F

FB

．
（2）求三棱锥D-A₁CF的体积．
（3）求A₁B与平面FDC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接EB交DC于O，连接FO，由线面平行的性质定理可得A₁E∥FO，由三角形中位定理及相似三角形的性质可得

A1F

FB

=

EO

OB

=

1

2

（2）由面面垂直的性质定理可得A₁D⊥平面DECB，代入棱锥体积公式可得三棱锥D-A₁CF的体积．
（3）以

DE

，

DB

，

DA1

为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．分别求出平面FDC的法向量和直线A₁B的方向向量，代入向量坐标公式，可得答案．

解答：解：（1）连接EB交DC于O，连接FO．

A1E∥平面FDC A1E?平面BA1E 平面FDC∩平面BA1E=FO

⇒A1E∥FO．…（3分）
D，E分别是AB，AC的中点⇒

DE∥BC⇒△ODE∽△OCB DE= 1 2 BC

⇒

EO

OB

=

DE

CB

=

1

2

．
所以在△BA₁E中，

A1F

FB

=

EO

OB

=

1

2

．…（5分）

（2）

平面A1DE⊥平面DECB 平面A1DE∩平面DECB=DE A1D⊥DE

⇒A1D⊥平面DECB．VD-A1CF=VC-A1DF=

1

3

VC-A1DB=

1

3

VA1-DCB=

1

3

×(

1

3

×

2×2

2

×2)=

4

9

．…（10分）

（3）A₁D⊥平面DECB．又DE⊥DB．
以

DE

，

DB

，

DA1

为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），A₁（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，0）．…（7分）
设F（x，y，z）．因为

A1F

FB

=

1

2

．
所以

A1F

=

1

2

FB

，即(x，y，z-2)=

1

2

(-x，2-y，-z)，
所以F(0，

2

3

，

4

3

)．

DC

=(2，2，0)，

DF

=(0，

2

3

，

4

3

)．设平面FDC的法向量

n

=(x0，y0，z0)．
则

n • DC =0 n • DF =0

⇒

x0+y0=0 y0+2z0=0

，令z₀=1，则

n

=(2，-2，1)．又

A1B

=(0，2，-2)．
设A₁B与平面FDC所成角的大小为θ，则sinθ=|cos?

A1B

，

n

＞|=

| A1B • n |

| A1B || n |

=

2

2

．
因为θ∈[0，

π

2

]，所以A₁B与平面FDC所成角的大小

π

4

．…（15分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质定理，三棱锥的体积，其中建立空间坐标系，将空间直线与平面的夹角转化为向量夹角是解答的关键．