Question

已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥AB，垂足为E．
求证：（Ⅰ）AB•AC=AD•BC；
（Ⅱ）AD³=BC•BE•CF

Answer 1

分析：对于（Ⅰ）求证AB•AC=AD•BC．故可考虑根据已知条件分析得到△ABD∽△CBA，根据相似三角形边成比例，即可得到答案．
对于（Ⅱ）求证AD³=BC•BE•CF．因为由射影定理可得到AD²=AE•AB，然后根据相似三角形证明DF=AE，及边的比例关系，综合三个条件即可得到答案．

解答：（Ⅰ）证明：因为Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．
显然△ABD∽△CBA
∴

AB

AD

=

BC

AC

，即AB•AC=AD•BC
（Ⅱ）∵由射影定理知AD²=AE•AB
又由三角形相似可知

DF

CF

=

BE

ED

，

AB

BC

=

ED

AD

，且DF=AE
∴AE•AB•AD=BC•CF•BE，结合射影定理
∴AD³=BC•BE•CF．
故得证．

点评：此题主要考查相似三角形的性质问题，其中涉及到射影定理的应用．对于相似三角形在初中就已经学过，是大家比较熟悉的考点了，且题目较简单，属于基础题目．