Question

已知椭圆C：=1（a>b>1）的离心率为e=，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线
x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P与A，B均不重合，设直线的斜率分别为k₁，k₂，求k₁·k₂的值；
（3）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

Answer 1

解：(1)由题意可得圆的方程为，∵直线x-y+2=0与圆相切
∴d==b
即b=，又，即a=c，，得a=，c=1
所以椭圆方程为：
（2）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-，0），则，即
则，即
∴k₁·k₂的值为；
（3）设M（x，y），其中x∈[-，]
由已知及点P在椭圆C上可得
整理得，其中x∈[-，]
①当时，化简得y²=6，所以点M的轨迹方程为，
轨迹是平行于x轴的线段；
②当时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆满足的部分。