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已知函数f(x)=(
3
sinωx+cosωx)cosωx-
1
2
(ω>0)最小正周期为4π
(1)求f(x)的单调递增区间
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(2C)的取值范围.
分析:(1)利用二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简得f(x)=sin(2ωx+
π
6
),由最小正周期为4π解出ω=
1
4
,从而得到函数f(x)的表达式,利用单调区间的公式解关于x的不等式即可得出f(x)的单调递增区间;
(2)利用正弦定理将(2a-c)cosB=bcosC化简,结合三角形内角和定理与正弦的诱导公式算出cosB=
1
2
,得B=
π
3
.从而得到f(2C)=sin(C+
π
6
)的定义域为(0,
3
),利用正弦函数的图象与性质即可求出f(2C)的取值范围.
解答:解:(1)根据题意,可得
f(x)=(
3
sinωx+cosωx)cosωx-
1
2
=
3
sinωxcosωx+cos2ωx-
1
2

=
3
2
sin2ωx+
1
2
(1+cos2ωx)-
1
2
=
3
2
sin2ωx+
1
2
cos2ωx=sin(2ωx+
π
6

∵ω>0,f(x)的最小正周期为4π,
=4π,解之得ω=
1
4
,得f(x)=sin(
1
2
x+
π
6
).
设-
π
2
+2kπ≤
1
2
x+
π
6
π
2
+2kπ(k∈Z),可得-
3
+4kπ≤x≤
3
+4kπ(k∈Z)
∴f(x)的单调递增区间为[-
3
+4kπ,
3
+4kπ](k∈Z);
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴根据正弦定理,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)
∵△ABC中,B+C=π-A,可得sin(B+C)=sin(π-A)=sinA>0
∴上式化简为2sinAcosB=sinA,得2cosB=1,即cosB=
1
2

∵B是三角形的内角,∴B=
π
3

∵f(2C)=sin(C+
π
6
),C∈(0,
3

∴当C=
π
3
时,f(2C)有最大值为1,而f(2C)的最小值大于sin(
3
+
π
6
)=
1
2

因此,可得f(2C)的取值范围是(
1
2
,1
].
点评:本题着重考查了二倍角公式、辅助角公式、诱导公式、三角函数的图象与性质和正弦定理等知识,属于中档题.
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π
4
)
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π
6
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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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