练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2012•江苏一模）选做题
    （A）选修4-1：几何证明选讲
    如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC=
    		3
    ，CD切半圆于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AE：EB=3：1，求DE的长．
    （B）选修4-2：矩阵与变换
    在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx在矩阵
    01
    10
    对应的变换下得到的直线经过点P（4，1），求实数k的值．
    （C）选修4-4：坐标系与参数方程
    在极坐标系中，已知圆ρ=asinθ（a＞0）与直线ρcos(θ+
    π
    4
    )=1    相切，求实数a的值．
    （D）选修4-5：不等式选讲
    已知a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．
    分析：（A）连接OD、BD，由题目中条件知：“DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点”可得三角形BOD是等边三角形，设圆的半径为R，再在直角三角形OCD中，可得CD的长，最后根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得DE的长．
    （B）设变换T：
    x
    y
    →
    x′
    y′
    ，直线y=kx上任意一点（x，y），（x′，y′）是所得的直线上一点，根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标代入得到直线的方程，得到结果．
    （C）先圆ρ=acosθ与直线ρcos(θ+
    π
    4
    )=1    ，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．
    （D）：将（a+2）（b+2）（c+2）展开，再利用基本不等式结合条件abc=1，即可证得．
    解答：解：（A）连接OD，
    ∵DE⊥AB，垂足为E，且AE：EB=3：1得E是OB的中点
    ∴可得等腰三角形BOD是等边三角形，
    在直角三角形OCD中，∠COD=60°，设圆的半径为R，
    ∴可得CD=
    		3
    OD=
    		3
    R，
    ∵CD是圆O的切线，∴由切割线定理得，
    ∴CD2=CB×CA，
    即3R2=
    		3
    ×（
    		3
    +2R）
    ∴R=
    		3
    ，
    ∴DE=
    		3
    OE=
    		3
    ×
    		3
    2
    =
    3
    2
    ；
    （B）：设变换 T：
    x
    y
    →
    x′
    y′
    ，
    则 
    x′
    y′
    =
    01
    10
    x
    y
    ，（5分）
    即
    x=y′
    y=x′
    代入直线y=kx得y'=kx'，
    将点P（4，1）代入，
    得k=
    1
    4
    ．
    （C）：p2=apcosθ，圆ρ=acosθ的普通方程为：x2+y2=ax，（x-
    a
    2
    ）2+y2=（
    a
    2
    ）2，
    直线ρcos(θ+
    π
    4
    )=1    的普通方程为：x-y-
    		2
    =0，
    又圆与直线相切，所以
    |0-
    a
    2
    -
    		2
    |
    		2
    =a，解得：a=4±2
    		2
    ．
    ∵a＞0，∴a=4+2
    		2
    ．
    （D）：（a+2）（b+2）（c+2）
    =abc+2（ab+bc+ca）+4（a+b+c）+8
    ≥1+2×3
    3a2b2c2
    +4×3
    3abc
    +8
    =27，当且仅当a=b=c时等号成立．
    点评：本题主要考查二阶矩阵的变换，简单曲线的极坐标方程，不等式的证明等．考查运算求解能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江苏一模）已知椭圆的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于
    		3
    3
    		3
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江苏一模）观察下列等式：
    13=1，
    13+23=9，
    13+23+33=36，
    13+23+33+43=100
    …
    猜想：13+23+33+43+…+n3=
    [
    n(n+1)
    2
    ]2
    [
    n(n+1)
    2
    ]2
    （n∈N*）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江苏一模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（p，q为常数，n∈N*），如果：a1=2，a2=1，a3=q-3p．
    （1）求p，q的值；
    （2）求数列{an}的通项公式；
    （3）是否存在正整数m，n，使
    Sn-m
    Sn+1-m
    ＜
    2m
    2m+1
    成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江苏一模）选修4-1：几何证明选讲
    如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．
    求证：BT平分∠OBA．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江苏一模）选修4-2：矩阵与变换
    在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案