Question

如图，椭圆C ：的左右顶点为A₁，A₂，左右焦点为F₁，F₂，其中F₁，F₂是A₁A₂的三等分点，A是椭圆上任意一点,且|AF₁|+|AF₂|=6
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AF₁与椭圆交于另一点B，与y轴交于一点C，记，若点A在第一象限，求m+n的取值范围；

Answer 1

解：(1)∵F₁，F₂是A₁A₂的三等分点
∴a=3c
又∵|AF₁|+|AF₂|=6  
∴a=3  
∴b²=8
∴椭圆C的方程为：
（2）F₁(-1,0),当直线与x轴重合时，显然不合题意，
当直线不与x轴重合时，设直线AF₁：x=my-1 
 代入到椭圆方程并消元整理得：（8m²+9)y²-16my-64=0 …………①
△=16²×9(m²+1)>0恒成立；
设A（x₁,y₁),B(x₂,y₂),则y₁,y₂是方程①的两个解，
由韦达定理得：
在x=my-1中令x=0得C点坐标为
(∵A在第一象限∴x₁=my₁-1>0,y₁>0)
同理：

∵A在第一象限  
∴C点在椭圆内部


∴m+n的取值范围是（2，+∞）