Question

定义在（0，

π

2

）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）

• A、

  3

  f（

  π

  4

  ）＞

  2

  f（

  π

  3

  ）
• B、f（1）＞2f（

  π

  6

  ）•sin1
• C、

  2

  f（

  π

  6

  ）＞f（

  π

  4

  ）
• D、

  3

  f（

  π

  6

  ）＞f（

  π

  3

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：把给出的等式变形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=

f(x)

sinx

，由其导函数的符号得到其在（0，

π

2

）上为增函数，对选项一一加以判断，即可得到答案．

解答： 解：因为x∈（0，

π

2

），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=

f(x)

sinx

，x∈（0，

π

2

），则g′（x）=

f′(x)sinx-f(x)cosx

sin2x

＞0．
所以函数g（x）=

f(x)

sinx

在x∈（0，

π

2

）上为增函数，
对于A，由于g（

π

4

）＜g（

π

3

），即

f( π 4 )

sin π 4

＜

f( π 3 )

sin π 3

，化简即可判断A错；
对于B，由于g（1）＞g（

π

6

），即

f(1)

sin1

＞

f( π 6 )

sin π 6

，化简即可判断B正确；
对于C，由于g（

π

6

）＜g（

π

4

），即

f( π 6 )

sin π 6

＜

f( π 4 )

sin π 4

，化简即可判断C错误；
对于D，由于g（

π

6

）＜g（

π

3

），即

f( π 6 )

sin π 6

＜

f( π 3 )

sin π 3

，所以

f( π 6 )

1 2

＜

f( π 3 )

3 2

，
即

3

f（

π

6

）＜f（

π

3

）．故D错误．
故选B．

点评：本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．