Question

已知x轴上有一点列P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，且当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1P_n+1作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1的长度分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（I）写出a₂，a₃和a_n（n≥2，n∈N^*）的表达式；
（II）记bn=

an+3

an

(n∈N*)，证明：b1+b2+b3+…+bn＜

1

4

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n+1，令n=2，P₁P₂=P₂P₃，故a₂=1．同理，

an

an-1

=

1

n-1

，a3=

1

2

，由此能求出a_n（n≥2，n∈N^*）的表达式．
（II）由bn=

an+3

an

，n∈N^*，知b1=

a4

a1

=

1 3!

1

=

1

6

，当n≥2时，bn=

an+3

an

=

(n-1)!

(n+2)!

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，由此能够证明b1+b2+b3+…+bn＜

1

4

(n∈N*)．

解答：解：（I）由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n+1，
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，
∴a₂=1．
同理，

an

an-1

=

1

n-1

，
∴a3=

1

2

，
∴an=

1

n-1

•an-1=

1

n-1

•

1

n-2

an-2=…=

1

n-1

•

1

n-2

…

1

2

•1=

1

(n-1)!

，（n≥2）．
（II）∵bn=

an+3

an

，n∈N^*，
∴当n=1时，b1=

a4

a1

=

1 3!

1

=

1

6

，
当n≥2时，bn=

an+3

an

=

1 (n+2)!

1 (n-1)!

=

(n-1)!

(n+2)!

=

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

6

+

1

2

[(

1

2•3

-

1

3•4

)+(

1

3•4

-

1

4•5

)+…+（

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

）]
=

1

6

+

1

2

[

1

2•3

-

1

(n+1)(n+2)

]
＜

1

6

+

1

12

=

1

4

（n≥2）．
∵b1=

1

6

＜

1

4

，
∴b1+b2+b3+…+bn＜

1

4

(n∈N*)．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．