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    （理）已知数列{an}的前n项和，且=1，

    .

    （I）求数列{an}的通项公式；

    （II）已知定理：“若函数f(x)在区间D上是凹函数，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，则有

    < f’(x)”．若且函数y=xn+1在(0,+∞)上是凹函数，试判断bn与bn+1的大小；

    （III）求证：≤bn<2.

    (文)如图，|AB|=2，O为AB中点，直线过B且垂直于AB，过A的动直线与交于点C，点M在线段AC上，满足=.

    （I）求点M的轨迹方程；

    （II）若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于

             点P，点Q(t,0)是x轴上任意一点，求当ΔBPQ为

             锐角三角形时t的取值范围．

     

     

     

     

    【答案】

     （理）(1)Sn=an，∴Sn+1=an+1，an+1=Sn+1-Sn=an+1-an，∴= (n≥2)         (2’)

    ∴==…==1，∴an+1=n，an=n-1 (n≥2)，又a1=0，∴an=n-1                  (4’)

       （2）bn+1=(1+ )n+1，bn=(1+ )n，

    ∵<(n+1)·(1+ )n                                   (7’)

    整理即得：(1+ )n<(1+ )n+1，即bn<bn+1                              (8’)

    (3)由(2)知bn>bn-1­>…>b­1=                                               (10’)

    又Cnr·()r=(··…)·()r≤()r，(0≤r≤n)，

    ∴bn≤1+ +()2+…+()n=2-()n<2，∴≤bn<2                          (14’)

    考点解析：这种“新概念”题需要较好的理解、分析能力，放缩法证明不等式是不等式证明的常用方法，也具有一定的灵活性，平时要注重概念的学习，常见题型的积累，提高思维能力和联想变通能力．

    （文）（1）设A（a,0）,B(0,b),P(x,y),由得——2’

    由得点P轨迹方程为——2’

    当时，C的方程为——1’

    设直线方程为与C方程联立得-1=0

    易得

    ——2’

    点Q到直线的距离为——2’

    得，当且仅当-2时——1’

    S有最大值——2’

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    （理）已知数列{an}满足a1=1，an=
    12
    an-1+1（n≥2），
    （1）求证：数列{an-2}是等比数列，并求通项an．
    （2）求{an}前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （理）已知数列{an}，Sn是其前n项和，Sn=1-an（n∈N*），
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）令数列{bn}的前n项和为Tn，bn=（n+1）an，求Tn；
    （3）设cn=
    3an
    (2-an)(1-an)
    ，数列{cn}的前n项和Rn，且Rn＜λ+
    m
    λ
    (λ＞0，m＞0)    恒成立，求m的范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （理）已知数列{an}是等差数列，且a1=-2，a1+a2+a3=-12．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）若b1=0，bn+1=7bn+6，n∈N*，求数列{an（bn+1）}的前n项和Tn的公式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （理）已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=
    pan+n-1(n为奇数)
    -an-2n(n为偶数)
    ．
    （1）若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{bn}前3项的和T3；
    （2）若数列{cn}满足cn=a2n，试判断{cn}是否为等比数列，并说明理由；
    （3）当p=
    1
    2
    时，对任意n∈N*，不等式S2n+1≤log
    1
    2
    (x2+3x)    都成立，求x的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （理）已知数列{an}前n项和Sn=-ban+1-
    1
    (1+b)n
    其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若
    limSn
    n→∞
    存在，则
    limSn=
    n→∞
    1
    1
    ．

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