Question

（理）已知数列{a_n}，S_n是其前n项和，S_n=1-a_n（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令数列{b_n}的前n项和为T_n，b_n=（n+1）a_n，求T_n；
（3）设cn=

3an

(2-an)(1-an)

，数列{c_n}的前n项和R_n，且R_n＜λ+

m

λ

(λ＞0，m＞0)恒成立，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）利用当n=1时，a₁=S₁=1-a₁，解得a₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，再利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）利用“裂项求和”即可得出R_n，再利用恒成立问题等价转化即可得出．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1-a₁，解得a1=

1

2

；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）=a_n-1-a_n，化为an=

1

2

an-1，
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴an=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．
（2）∵b_n=（n+1）×a_n=

n+1

2n

，
∴Tn=2×

1

2

+3×

1

22

+…+(n+1)×

1

2n

，

1

2

Tn=2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

+(n+1)×

1

2n+1

，
∴

1

2

Tn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-(n+1)×

1

2n+1

=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-(n+1)×

1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴Tn=3-

n+3

2n

．
（3）cn=

3× 1 2n

(2- 1 2n )(1- 1 2n )

=3×(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，
∴R_n=3[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=3(1-

1

2n+1-1

)≤3×(1-

1

3

)=2，
∵R_n＜λ+

m

λ

(λ＞0，m＞0)恒成立，
∴λ+

m

λ

＞[Rn]max=2，
∴m＞-λ²+2λ=-（λ-1）²+1恒成立，
而f（λ）=-（λ-1）²+1≤1，
∴λ＞1．

点评：熟练掌握“当n=1时，a₁=S₁=1-a₁，解得a₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”、等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式、“裂项求和”、恒成立问题等价转化方法等是解题的关键．