Question

（理）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），
（1）求证：数列{a_n-2}是等比数列，并求通项a_n．
（2）求{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），两边减去2，得出a_n-2=

1

2

（a_n-1-2），易知数列{a_n-2}是等比数列，通过数列{a_n-2}的通项求出a_n．
（2）由（1）a_n=（-1）•(

1

2

)n-1+2，利用分组即公式法求和．

解答：解：（1）由a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），两边减去2，得出a_n-2=

1

2

（a_n-1-2），
数列{a_n-2}是等比数列，且公比

1

2

，首项为a₁-2=-1，所以数列{a_n-2}的通项公式为
a_n-2=（-1）•(

1

2

)n-1，a_n=（-1）•(

1

2

)n-1+2，
（2）数列{a_n}可以看做等比数列{（-1）•(

1

2

)n-1}与等差数列{n}的和．
所以S_n=-（

1-( 1 2 )n

1- 1 2

）+

n(n+1)

2

=-2+

1

2n-1

+

n(n+1)

2

点评：本题考查数列和通项公式、数列求和，考查转化计算、推理论证能力．