Question

1．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞3）的两个焦点分别为F₁，F₂．其离心率为$\frac{4}{5}$．椭圆上点M到F₁的距离为2．点N是MF₁的中点．O是椭圆的中心．求线段ON的长度．

Answer 1

分析 根据体积求出a，利用椭圆的定义得|MF₂|=10-2=8，ON是△MF₁F₂的中位线，由此能求出|ON|的值．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞3）的两个焦点分别为F₁，F₂．其离心率为$\frac{4}{5}$．
b=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，a²=9+c²，解得a=5，c=4，
椭圆的长轴长为2×5=10，
∴|MF₂|=10-2=8，
ON是△MF₁F₂的中位线，
∴|ON|=$\frac{\left|{MF}_{2}\right|}{2}$=4，
线段ON的长度为：4．

点评 本题主要考查椭圆的简单性质、三角形的中位线，考查基础知识的灵活运用，作出草图数形结合效果更好．