Question

△A₁OB₁，△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃，…，△A_nB_n-1B_n均为等腰直角三角形，已知它们的直角顶点A₁，A₂，A₃，…，A_n在曲线xy=1（x＞0）上，B₁，B₂，B₃，…，B_n在x轴上（如图），
（1）求斜边OB₁，B₁B₂，B₂B₃的长；
（2）求数列OB₁，B₁B₂，B₂B₃，…，B_n-1B_n的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用图形关系直接可以计算；（2）解法一可以由（1）猜想结论，然后利用数学归纳法进行证明，解法二借助于表示出B_n、A_n的坐标，利用曲线xy=1，从而构建数列，探求其通项．

解答：解：（1）OB1=2，B1B2=2(

2

-1)，B2B3=2(

3

-

2

)．（4分）
（2）解法1：B_n-1B_n=a_n，猜想出an=Bn-1Bn=2(

n

-

n-1

)
当n=1时，由上已证猜想成立．
假设n=k时，猜想成立，即有ak=2(

k

-

k-1

)，（2分）
设S_k是a_n的前k项和，则有(Sk+

ak+1

2

)•

ak+1

2

)•

ak+1

2

=1．
∴(Sk-1+

ak

2

)•

ak

2

=1．
两式相减，得

ak+1

2

+

ak

2

=

2

ak+1

-

2

ak

（3分）
即

ak+1

2

+(

k

-

k-1

)=

2

ak+1

-(

k

+

k-1

)．
∴

a

2 k+1

+4

k

ak+1-4=0，
解得ak+1=2(

k+1

-

k

)，即n=k+1时，猜想也成立，（2分）
综合上述，所求的通项公式an=Bn-1Bn=2(

n

-

n-1

)．（1分）
解法2：设OB₁=a₁，B₁B₂=a₂，，B_n-1B_n=a_n，{a_n}的前n项和为S_n
．侧B_n（S_n，0），∴An+1(Sn+

1

2

an+!，

1

2

an+1)．（3分）
代入曲线方程得：(Sn+

1

2

an+1)(

1

2

an+1)=1，且(

1

2

a1)2=1，（2分）

∴2Snan+1+(an+1)2=4，a1=2， 2Sn(Sn+1-Sn)+(Sn+1-Sn)2=4，S1=2.

化简得（S_n+1）²-（S_n）²=4，（3分）
∴（S_n）²=（S₁）²+4（n-1）=4n，∴Sn=2

n

所求的通项公式为an=Bn-1Bn=2(

n

-

n-1

)．

点评：本题的解法一体现特殊到一般地思维，但结论的正确性必须有严密的证明；解法二的关键是构建数列，从而探求数列的通项．