Question

△A₁OB₁，△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃，…，△A_nB_n-1B_n均为等腰直角三角形，已知它们的直角顶点A₁，A₂，A₃，…，A_n在曲线xy=1（x＞0）上，B₁，B₂，B₃，…，B_n在x轴上（如图），
（1）求斜边OB₁，B₁B₂，B₂B₃的长；
（2）求数列OB₁，B₁B₂，B₂B₃，…，B_n-1B_n的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用图形关系直接可以计算；（2）解法一可以由（1）猜想结论，然后利用数学归纳法进行证明，解法二借助于表示出B_n、A_n的坐标，利用曲线xy=1，从而构建数列，探求其通项．
解答：解：（1）．（4分）
（2）解法1：B_n-1B_n=a_n，猜想出
当n=1时，由上已证猜想成立．
假设n=k时，猜想成立，即有，（2分）
设S_k是a_n的前k项和，则有．
∴．
两式相减，得（3分）
即．
∴，
解得，（2分）
综合上述，所求的通项公式．（1分）
解法2：设OB₁=a₁，B₁B₂=a₂，，B_n-1B_n=a_n，{a_n}的前n项和为S_n
．侧B_n（S_n，0），∴．（3分）
代入曲线方程得：，（2分）
化简得（S_n+1）²-（S_n）²=4，（3分）
∴（S_n）²=（S₁）²+4（n-1）=4n，∴所求的通项公式为．
点评：本题的解法一体现特殊到一般地思维，但结论的正确性必须有严密的证明；解法二的关键是构建数列，从而探求数列的通项．