Question

（本小题满分10分）已知是曲线：的两条切线，其中是切点，

（I）求证：三点的横坐标成等差数列；

（II）若直线过曲线的焦点，求面积的最小值；

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：见解析；（2）面积的最小值为 。

【解析】(I) 设、,,再利用导数求出切线MA、MB的方程.然后两方程联立解出交点M的横坐标为即可.

(II) 焦点的坐标为（0，1），显然直线的斜率是存在的；

设直线的方程为它与抛物线方程联立,消y后得关于x的一元二次方程,再根据弦长公式得和点到直线的距离公式得到面积S关于k的函数关系式,然后再利用函数求最值的方法求最值.

（1）证明：，设、；

直线的方程为 ①    直线的方程为  ②

①-②得：点的横坐标，所以 点的横坐标成等差数列；…4分

（2）焦点的坐标为（0，1），显然直线的斜率是存在的；

设直线的方程为

将直线的方程代入得：  （恒成立）

，且   又由①②得：

，从而点到直线的距离，      …8分

      当且仅当时取等号；

故面积的最小值为                 …10分