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    设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．


    解：设该椭圆的方程为＝1(a>b>0)，依题意，2a＝2(2b)a＝2b.由于点P(4，1)在椭圆上，所以＝1.解得b2＝5或，这样a2＝20或65，故该椭圆的方程为＝1.


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    已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为____________．

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     已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．

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    下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.

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    设Ρ是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则＝________．

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    设F1、F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是________．

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    已知F1、F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A、B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，O是坐标原点，OP∥AB，PF1⊥x轴，F1A＝＋，则此椭圆的方程是________________．

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     如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点A(0，1)．

    (1) 求椭圆的方程；

    (2) 过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N，求证：直线MN恒过定点P.

     

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     观察下列各式：a＋b＝1；a2＋b2＝3；a3＋b3＝4；a4＋b4＝7；a5＋b5＝11；…；则a10＋b10＝________．

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