Question

探究函数f（x）=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

请观察表中值y随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）上递减；
函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间

（2，0）

上递增．
当x=

2

时，y_最小=

4

．
证明：函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）递减．
思考：（直接回答结果，不需证明）
（1）函数f（x）=x+

4

x

（x＜0）有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，以及取相应最值时x的值．
（2）函数f（x）=ax+

b

x

，（a＜0，b＜0）在区间

[-

b a

，0）

 和

（0，

b a

]

上单调递增．

Answer 1

分析：根据表格给出的数据，通过考查x增大时，y的变化写出问题中的空格答案．并采用证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论证明函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）递减．
（1）根据奇函数图象对称性，得出f（x）=x+

4

x

（x＜0）有最值，当x=-2时，y_max=-4，（2）由特殊到一般的推理过程，得出f（x）=ax+

b

x

，（a＜0，b＜0）在区间 ）[-

b a

，0）和（0，

b a

]上单调递增．

解答：解：（1）函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间  （2，+∞）上递增．（2分）
当x=2 时，y_最小=4．（4分）
下面证明：函数f（x）=x+

4

x

（x＞0）在区间（0，2）递减．
证明：设x₁，x₂是区间，（0，2）上的任意两个数，且x₁＜x₂．…（5分）
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-（x₂+

4

x2

）=x₁-x₂+

4

x1

-

4

x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

．（7分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（0，2），
∴0＜x₁x₂＜4，…（8分）
∴x₁x₂-4＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0
∴函数在（0，2）上为减函数．（9分）
答：（1）f（x）=x+

4

x

（x＜0）有最值，当x=-2时，y_max=-4．（11分）
（2）[-

b a

，0）和（0，

b a

]单调递增．（14分）

点评：本题考查函数单调性的定义、证明．奇函数的性质，是单调性与奇偶性的结合，考查归纳推理、类比、论证能力．