Question

（理）已知函数f（x）=αx³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，且在f′（x）_min=-1（x∈R），

lim

x→0

f(3+x)-f(3)

x

=8．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）的图象与函数m（x）=nx²-2x的图象有三个不同的交点，且都在y轴的右方，求实数n的取值范围；
（3）若g（x）与f（x）的表达式相同，是否存在区间[a，b]，使得函数g（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出满足条件的一个区间[a，b]；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，可得f（-x）=-f（x）恒成立得到b=d=0，由

lim

x→0

f(3+x)-f(3)

x

=8知f'（3）=8；又f'（x）_min=-1（x∈R）求得a，c得到解决；
（2）由题意方程

1

3

x3-x=nx²-2x即x（x²-3nx+3）=0有三个不同的非负根，即x²-3nx+3=0有两个不同的正根；
（3）假设存在，由函数g（x）的定义域和值域都是[a，b]，不妨取函数y=x，再由

y= 1 3 x3-x y=x

和f'（x）=x²-1=0．有函数f（x）在x∈[-

6

，(1，

6

]上单调递增，在x∈（-1，1）上单调递减．找到满足条件的区间[α，β]即可．

解答：解：（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数?f（-x）=-f（x）恒成立?b=d=0，f'（x）=3ax²+c，
由

lim

x→0

f(3+x)-f(3)

x

=8，知f'（3）=8；又f'（x）_min=-1（x∈R），
∴c=-1，f′(3)=27a-1=8?a=

1

3

，
∴f(x)=

1

3

x3-x．
（2）由题意方程

1

3

x3-x=nx²-2x即x（x²-3nx+3）=0有三个不同的非负根，即x²-3nx+3=0有两个不同的正根，
∴

n＞0 △=9n2-12＞0

?n＞

2 3

3

．
（3）假设存在，由

y= 1 3 x3-x y=x

得x=0或x=±

6

．
令f'（x）=x²-1=0得x=±1，当x∈[-

6

，-1)或x∈(1，

6

]时f'（x）＞0；
当x∈（-1，1）时f'（x）＜0．
∴函数f（x）在x∈[-

6

，-1)，(1，

6

]上单调递增，在x∈（-1，1）上单调递减．
∴f（x）在[-

6

，

6

]上的极大值和极小值分别为f(-1)=

2

3

，f(1)=-

2

3

，而-

6

＜-

2

3

＜

2

3

＜

6

．
所以存在满足条件的区间[α，β]，如x∈[-

6

，

6

]，y∈[-

6

，

6

]．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，导数的定义和函数的单调性．