Question

已知f(x)＝(1＋2x)^m＋(1＋4x)ⁿ (m，n∈N^*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x²项的系数的最小值．

Answer 1

解　(1＋2x)^m＋(1＋4x)ⁿ展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x，

∴2C＋4C＝36，即m＋2n＝18，

(1＋2x)^m＋(1＋4x)ⁿ展开式中含x²项的系数为t＝C2²＋C4²＝2m²－2m＋8n²－8n，

∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，

∴t＝2(18－2n)²－2(18－2n)＋8n²－8n＝16n²－148n＋612＝，

∴当n＝时，t取最小值，但n∈N^*，

∴n＝5时，t即x²项的系数最小，最小值为272.