Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2ⁿa_n，c_n=$\frac{1}{2{b}_{n}^{2}-{b}_{n}}$，若T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求证T_n$＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（2）首先证得1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$，再由柯西不等式和放缩法，化简整理，即可得到右边成立．

解答 （1）解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2（n为正整数），
∴a₁=S₁=-a₁-1+2，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+2-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}+2]$，化为：2a_n=a_n-1+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
变形为：2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，
∴数列{2ⁿa_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴2ⁿa_n=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
（2）证明：令b_n=2ⁿa_n=n，
c_n=$\frac{1}{2{b}_{n}^{2}-{b}_{n}}$=$\frac{1}{2{n}^{2}-n}$=2$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}）$，
则T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}）]$
∵1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$，
由柯西不等式可得，$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$＜$\sqrt{（{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}）（\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}）}$，
由$\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}$＜$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{2n}$，
即有$\sqrt{（{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}）（\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}）}$＜$\sqrt{n•\frac{1}{2n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}）]$＜2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，
则原不等式成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和放缩法，结合不等式的性质，考查推理能力，属于难题．