Question

6．已知点D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，AD、BE、CF相交于点P，且AE=EC，BF=2FA．
（1）记$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，试用表示$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{CP}$；
（2）求BD：DC的值．

Answer 1

分析 （1）由B，P，E三点共线便可得到$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BE}$，从而可得到$\overrightarrow{AP}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AC}$，这样同理可以由C，P，F三点共线得到$\overrightarrow{AP}=（1-μ）\overrightarrow{AC}+\frac{μ}{3}\overrightarrow{AB}$，从而由平面向量基本定理即可建立关于λ，μ的二元一次方程组，解出$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{4}{5}}\\{μ=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，这样即可表示出$\overrightarrow{BP}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{a}-\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$；
（2）可设$\overrightarrow{BD}=x（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$，从而可得到$\overrightarrow{AD}=（1-x）\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}$，而求出$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{AP}$共线，从而有$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AP}$，这样即可建立关于x，k的二元一次方程组，解出x便可得出BD：DC的值．

解答 解：（1）B，P，E三点共线；
∴存在λ，使$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BE}$；
∴$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=λ（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=λ（\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{AC}$；
同理由C，P，F三点共线得，$\overrightarrow{AP}=（1-μ）\overrightarrow{AC}+\frac{μ}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{μ}{3}}\\{\frac{λ}{2}=1-μ}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{4}{5}}\\{μ=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{BP}=\frac{4}{5}\overrightarrow{BE}=\frac{4}{5}（\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$=$-\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$；
$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{a}-\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$；
（2）设$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{BC}=x（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$；
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=（1-x）\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}$；
∵$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{a}+（-\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}）$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$；
A，P，D三点共线，∴$\overrightarrow{AP}$∥$\overrightarrow{AD}$；
∴存在k，使得$\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AP}$=$\frac{k}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2k}{5}\overrightarrow{b}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-x=\frac{k}{5}}\\{x=\frac{2k}{5}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{x=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$；
∴$\frac{BD}{DC}=2$．

点评 考查共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算．