Question

17．已知抛物线的方程为y²=4x，直线l过点P（-2，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点并求出直线方程．

Answer 1

分析 设直线方程为：y=k（x+2）+1，代入抛物线方程得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*），直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根，由此能求出结果．

解答 解：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，
代入抛物线方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*），
直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根，
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或k=-1．
综上可得，k=$\frac{1}{2}$或k=-1或k=0时，直线l与抛物线只有一个公共点，
对应的直线l的方程分别为：y=$\frac{1}{2}（x+2）+1$，y=-（x+2）+1，y=1，
即x-2y+4=0，x+y+1=0，y=1．

点评 本题考查满足条件的直线的斜有一些及直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与抛物线的位置关系的合理运用．