Question

2．已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x²+y²+z²=10，a²+b²+c²=90，ax+by+cz=30，a+b+c=k（x+y+z），则k=（　　）

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． 3
• D． 9

Answer 1

分析 根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．

解答 解：因为x²+y²+z²=10，a²+b²+c²=90，ax+by+cz=30，
所以（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）=（ax+by+cz）²，
又（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²等号成立，
当且仅当$\frac{a}{x}$=$\frac{b}{y}$=$\frac{c}{z}$=k，
则a=kx，b=ky，c=kz，代入a²+b²+c²=90，
得k²（x²+y²+z²）=90，
于是k=3，
故选：C．

点评 柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．