Question

10．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱CC₁上的动点．
（1）点Q在何位置时，直线D₁Q，DC，AP交于一点，并说明理由；
（2）求三棱锥B₁-DBQ的体积；
（3）若点Q是棱CC₁的中点时，记过点A，P，Q三点的平面截正方体所得截面为S，求截面S的面积．

Answer 1

分析 （1）延长AP交DC于M，连结D₁M交C₁C于点Q，根据相似三角形得出$\frac{CQ}{D{D}_{1}}$的比值，找出Q的位置；
（2）把△BB₁Q当做棱锥的底面，则棱锥的高为DC，代入体积公式计算；
（3）连结AD₁，则截面为等腰梯形APQD₁，求出梯形的上下底和高，代入面积公式计算．

解答 解：（1）当Q是C₁C中点时，直线D₁Q，DC，AP交于一点．理由如下：
延长AP交DC于M，连结D₁M交C₁C于点Q，∵CP∥AD，∴△MCP∽△MDA，∴$\frac{MC}{MD}=\frac{CP}{AD}=\frac{1}{2}$．
∵CQ∥D₁D，∴△MCQ∽△MDD₁，∴$\frac{CQ}{D{D}_{1}}$=$\frac{MC}{MD}=\frac{1}{2}$，∴Q是C₁C中点．
（2）V${\;}_{棱锥{B}_{1}-DBQ}$=V${\;}_{棱锥D-B{B}_{1}Q}$=$\frac{1}{3}{S}_{△B{B}_{1}Q}$•CD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．
（3）连结AD₁，则过点A，P，Q三点的平面截正方体所得截面是梯形APQD₁，
DD₁=$\sqrt{2}AD$=2$\sqrt{2}$，PQ=$\frac{1}{2}A{D}_{1}$=$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{5}$，QD₁=$\sqrt{{D}_{1}{{C}_{1}}^{2}+Q{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴梯形APQD₁的高h=$\sqrt{A{P}^{2}-[\frac{1}{2}（A{D}_{1}-PQ）]{\;}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$（PQ+AD₁）•h=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了平面的基本性质，棱锥的体积计算，属于中档题．